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黄江艳:离散型随机变量均值教案(罗外杯)2016.4.7

   2017/10/10 17:45:00     发布者:学校管理员



2.3.1 离散型随机变量的均值(教案)

          执教者:黄江艳                       

一、教学目标

1、通过实例,让学生理解离散型随机变量均值(数学期望)的概念;

2、通过比较,让学生知道随机变量的均值与样本均值的区别与联系;

3、会计算简单的离散型随机变量的均值,会利用均值解决一些简单的实际问题;

二、教学重点、难点

教学重点:会计算简单的离散型随机变量的均值,会利用均值解决一些简单的实际问题;

教学难点:会利用均值解决一些简单的实际问题;

二、教学设计

师开场:我们学习了离散型随机变量,知道它的分布列全面地刻画了随机变量的取值规律。但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。比如:要了解我们班同学在一次数学测试中的总体水平,很重要的指标是班级平均分。

        这节课,我们一起来学习相关内容——离散型随机变量的均值

师:请大家看学案【引入新课】的例子,完成下面的三个问题,把答案上去,5分钟内完成。写的快的同学可以接着继续写。

【引入新课】

某商场为满足市场需求要将单价分别为18,24,36 的3种糖果按3:2:1的比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,如何对混合糖果定价才合理?

教学安排:

师:设问1:所定价格为元/kg,合理吗?

生:不合理

师:那应该如何定价?

生:元/kg(或者回答元/kg)

师:这里的1/2,1/3,1/6是什么?这个数字是怎么得来?

生:每一种糖果占的比例(也叫权数)

师:元/kg这是三种糖果价格的一种加权平均。大家已经发现它比/kg这三个糖果价格的算术平均数更加能够反映混合糖果的真实情况。

师:设问2:假如我从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗糖果的单价()请你写出X的分布列;

师:写X的分布列,要确定哪些量?

生:X的取值和对应的的概率

师:X可以取哪些值?

生:18,24,36

师:X=18时的概率是多少?

生:1/2

师:为什么?这不是概率啊?是权数,是频率。

生:因为混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,保证了每个糖果被抽中的可能性相等,每1kg混合糖果中18元/kg的糖果占的比例就应该接近1/2,根据概率的稳定性,可以认为X=18的概率就是1/2。

师:请大家观察X的分布列和加权平均元/kg的联系,你发现了什么?

生:加权平均就是X的每个取值乘以对应的概率,然后加起来。

师:没错,这就是离散型随机变量X的均值:E(X)= 元/kg

它是概率意义下的均值,我们已经发现它比X取值的算术平均值更能反映X取值的平均水平。

师:设问3:如果你买了1kg这种混合糖果,你要付多少钱?而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗?

生,要付23元,不是实际价值

师:糖果的实际价值其实就是样本平均值,它不一定是23元,但是当样本容量很大的时候,每千克糖果的价格会接近23元。这告诉我们随机变量X的均值虽然能反映X取值的平均水平,但是对于一个具体的样本来说,样本平均值和随机变量的均值是不同的。

概念的学习:下面我们给出离散型随机变量X的均值的定义

师:离散型随机变量X的均值也叫数学期望,简称期望,它的定义是:E(X)=,请大家填写学案

师:它反映的是离散型随机变量取值的平均水平。

师:从随机变量均值的定义来看,要求离散型随机变量的均值,第一步是什么?

生:写出分布列

师:写出分布列后,就好办了,直接用公式就好。

师:接下来,大家完成练习1,写的快的同学,接着往下写。请两个同学到黑板上来写

①②郭泽鑫或者张顺

③毕波或者黄思琪

20分钟过去了

X

1

100

P

0.01

0.99

 

练习1:离散型随机变量X的概率分布列为

 

①求X可能取值的算术平均数。②求X的期望。③求0的期望。

Y

12

210

P

0.01

0.99

②E(X)=1*0.01+100*0.99=99.01③方法一:

E(Y)=12*0.01+210*0.99=0.12+207.9=208.02

方法二:E(Y)=E(2X+10)=2*E(x)+10=2*99.01+10=208.02

师:能不能用方法二呢?

这就是我们接下来要讲的离散型随机变量均值的性质

(1)随机变量均值的线性性质:

下面我们一起来证明,怎么证?

师引导:要计算随机变量aX+b的期望,第一步?

生:写出分布列

师:随机变量aX+b的可能取值?

生:

师:对应的概率?

生:

师:期望就可以写出来了,放幻灯片

师:

师:这个线性性质告诉我们,为了求随机变量aX+b的数学期望,可以先求随机变量X的期望,然后用公式就可以aX+b的期望。

师:                      (只猜想,有兴趣的同学课后证明)很容易想到

这个是对的,在此值要求知道这个结论,不要求证明,一会要用到。

接下来,请大家以最快的速度完成练习2

练习2:篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知目前姚明罚球命中的概率为0.85,求他罚球1次的得分ξ的期望?

师:E(ξ)=0.85

师:这是什么分布?

生:两点分布

师:由此例子,大家可以知道两点分布的均值等于多少吗?

生:

(2)结论1(两点分布的数学期望)若 X~B(1,P),则

师:前两节课,我们知道二项分布X可以写成n个两点分布的和即,结合线性性质第二条,容易得到

结论2(二项分布的数学期望)若X~B(n,P),则 E(X)=np

在此,高考常考,只要求记住,二项分布的期望等于np这个结论,会用结论来解题就好,不要求证明。(课本P62的证明,有兴趣的同学课后可以再深入研究)

教学后反思:此处用到随机变量和的性质:,这部分内容课本没有,教学参考中有,本想避开繁琐的推导过程,用一个简单的推到过程便于学生理解。但是教学后发现,用一个学生不熟悉的性质去理解一个新的公式,不好!不如这样处理:直接让学生知道结果,记住结果,因为在此处(X~B(1,P),E(X)=p)高考的要求本来就是记住公式,会用就好!至于如何推导,并没有要求。在此处,课前备课和试讲的时候已经发现了这个问题,当时总想着如何去解释,让学生明白,并没有想着干脆不讲!以后碰到这个问题的教学,我就会灵活处理教材,任何形式的解释推导过程都不用提了,只讲结论,把重点转移到会用上就好了。这部分的教学还给我一个启示:1、坚决不能用一个学生不熟悉的定理去证明一个新的公式。2、对于高考不要求的部分推导过程,理解起来又有困难的情况,就不如在课堂上避开,不讲,以免混乱学生的思维。只要求记住结论,会用结论的部分知识,课堂的要求应该就是结论,而不是过程。

师:下面同学们应该很快能完成练习2和练习3

练习3:在练习2中,若姚明在某次比赛中罚球10次,求他罚球的得分ξ的期望?

师板书:因为ξ~B(10,0.85),所以E(ξ)=10*0.85=8.5

师小结:

1、这节课我们主要学了离散型随机变量的均值的定义,也叫数学期望,简称期望。知道要求期望,先求分布列,然后套公式;当然若是两点分布和二项分布,则直接用公式求解就行。

2、我们还学习的离散型随机变量的线性性质,这告诉我们,可以通过公式先求E(x)来求E(aX+b),而不必写出aX+b的分布列,避免太多的计算。

最后,我们来做这个例题。

请同学到黑板板书,请两个同学:陈泽敏和刘梓立

我们说过在这一部分写解答题最难是什么?假设随机变量。

【例题应用】

例:.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.

解:设学生甲在这次测验中答对题数为X,则这次测验的成绩为5X

X~B(20,0.9)

所以,E(X)=20*0.9=18

所以E(5X)=5E(X)=5*18=90

 

设学生乙在这次测验中答对题数为Y,则这次测验的成绩为5Y

Y~B(20,0.25)

所以,E(Y)=20*0.25=5

所以E(5Y)=5E(Y)=5*5=25

答:学生甲在这次测验中的成绩的均值是90,学生乙在这次测验中的成绩的均值是25

师:这次测验,学生甲一定会是90分,学生乙一定是25分吗?

生:不是,90分和25分只能反映学生甲和学生的平均水平,每次测验的真实成绩就好比样本均值,它会在在均值附近波动。

课后教学反思:这个例题我选择让两个学生到黑板上板书,从学生的表现来看,还是有困难的。我在试讲的时候,已经发现学生在这部分内容的确有困难,但还是有同学会,我本来是希望让会做的学生展示一下自己的成果,然后在全班讲解,达到全班教学的目的。公开课的时候,学生紧张加上学生前一天晚上因为没有预习到位(或者说预习的人不太多),所以此处困难还蛮大的,所以,课后想了一下,这个地方其实可以这么处理:先领着同学们分析,分析了随机变量,帮助同学把随机变量假设好了,再让学生到黑板上写,这样难度降低,准确率会提高很多。这里给我一个启示:在学生理解,学习困难的地方,刚开始的时候,可以让学生独立思考一点时间后,帮助学生分析,再让学生继续,这样会大大降低难度,提高学生学习和教学的难度,体现出教师的教符合学生学习螺旋式上升的过程。

 

【归纳小结】

1、离散型随机变量X的均值或数学期望:E(X)=                                  

2、离散型随机变量均值的性质

(1)线性性质:E(aX+b)=                 E(aX+bY)=                

(2)两点分布的数学期望:若X~B(1,P),则E(X)=                

(3)二项分布的数学期望:若X~B(n,P),则E(X)=                

随机变量的均值只能反映随机变量取值的平均水平,并不能代替每一次具体抽样的样本均值。

【作业布置】——38分钟P49-P50(例1,例2,例3,8分钟)


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